جایزه حل این مسئله ریاضی بیش از ۵۰ میلیارد تومان است!

سال ۲۰۱۲ برای نظریه‌پردازان اعداد، مثل یک ترن هوایی بود. شینیچی موچیزوکی یکی از ریاضیدانان مشهور ژاپنی از دانشگاه کیوتو، اثباتی برای " حدس abc" که یکی از مهم‌ترین پازلهای حل نشده در این رشته است را منتشر کرد.

اما بلافاصله ناامیدی‌ها در این زمینه آغاز شد: موچیزوکی بیست سال زمان صرف ساختن حدود ۵۰۰ صفحه از فرمالیسم کاملا جدیدی کرده بود که سایر متخصصان نیاز به رمزگشایی‌اش داشتند. در دهه گذشته، این متخصصان برای اثبات آن تمام تلاششان را به کار گرفتند و حتی برگزاری چندین کنفرانس نیز حاصلی برای تعیین تکلیف "حدس abc " نداشت.

از همین رو و در راستای تغییر این وضعیت، نوبو کاواکامی، موسس شرکت رسانه‌ای و مخابراتی ژاپنی DWANGO جایزه‌ای یک میلیون دلاری را برای اولین نفری که موفق به نوشتن مقاله‌ای که نشان‌دهنده نقض ذاتی اثبات موچیزوکی شود، تعیین کرده است.

در نگاه اول حدس abc به نظر مشکلی ندارد. بحث دو عدد طبیعی a و bو مجموع آنها که a + b = c است، در میان است. همان‌طور که در نظریه اعداد رایج است، این حدس با اعداد اولی سرو کار دارد که دقیقا یک عدد معین را تقسیم می‌کنند (همان چیزی که ریاضی‌دانان مقسوم علیه اول می‌نامند و هر عددی را می‌توان حاصل ضرب اعداد اول نشان داد؛ مثلا ۵*۳ = ۱۵ یا ۳۴ * ۲۲ = ۳۲۴. مثال دوم نشان‌دهنده نمونه‌ای از یک عدد غنی (عدد غنی یا عدد منفصل یک عدد واقعی است که بسط آن نسبت به مقداری پایه b دنباله‌ای منفصل بر روی الفبای {۰,...,b-۱} است.) خواهد بود. چون مقسوم‌علیه‌های اول مساوی زیادی دارد (عدد دو دوبار تکرار می‌شود و عدد ۳ چهار بار)، این اعداد غنی نادر هستند. عجیب‌تر اینجاست که مجموع دو عدد غنی، یک عدد غنی خواهد بود. این اتفاق غیرعادی دقیقا همان حدس abc است که جوزف اوسترل و دیوید ماسر، دو ریاضیدان در سال ۱۹۸۵ آن را فرموله کردند. این حدس نوعی اندازه‌گیری است که نشان می‌دهد مجموع دو عدد چقدر غنی خواهد بود. نکته جالب درباره این حدس این است که خواص جمع و ضرب اعداد طبیعی را با هم ترکیب می‌کند.

از آنجا که معادله a+b=c خیلی ساده است، بسیاری از مشکلات به آن مربوط می‌شوند. به عنوان مثال، آخرین قضیه فرما که به جواب‌هایی به شکل an + bn = cn می‌پردازد، بیش از ۳۵۰ سال است که کارشناسان را مشغول کرده است. در اواسط دهه ۱۹۹۰، اندرو ویلز، ریاضیدان مشهور، توانست ثابت کند که اگر n > ۲ باشد، این معادله ساده، هیچ جواب عددی برای a، b یا c نخواهد داشت ولی اگر حدس abc درست باشد، قضیه فرما راحت‌تر توضیح داده خواهد شد. این حدس همچنین می‌تواند برخی از سوالات موجود در نظریه اعداد را حل کرده و به یک ابزار مهم در این زمینه تبدیل شود؛ به ویژه اگر با مفهوم منحنی‌های بیضوی ترکیب گردد.

اشتباه در اثبات ۵۰۰ صفحه‌ای

جای تعجبی نیست که تعداد زیادی از نظریه‌پردازان، پس از انتشار، بر روی کار امیدوار کننده موچیزوکی تمرکز کردند. این ریاضیدان ژاپنی پیش از این به دستاوردهای چشمگیری دست یافته بود ولی تئوری "بین جهانی تیچمولر (IUT)" که قرار است حدس abc برمبنای آن تائید شود، مملو از صفحات زیادی از تعریف‌ها و قضایایی است که برهان‌های آنها اغلب به سادگی قابل خواندن هستند:« اثبات از تعریف ناشی می‌شود.»

این سبک غیرمعمول مجموعا در ۵۰۰ صفحه درج شده که نتیجه تلاش‌های قبلی موچیزوکی است و این ریاضیدان ژاپنی کار را برای همکارانش سخت کرده ؛ چرا که حاضر نشده نتایج کارش را در خارج از ژاپن ارائه کند؛ در نتیجه چندین کنفرانس در این زمینه بدون حضور او برگزار شده است.

در سال ۲۰۱۸، زمانی که پیتر شولز و همکارش یاکوب استیکس، مقاله‌ای با این سرفصل " چرا abc هنوز یک حدس است" را منتشر کردند، ماجرا به اوج خود رسید. در این مقاله آنها مدعی شدند که مشکلی اساسی را در اثبات موچیزوکی یافته‌اند. شولز و استیکس حتی به ژاپن سفر کردند تا با موچیزوکی دراین باره به گفتگو بپردازند. اما این سه ریاضیدان نتوانستند به یک درک و تفاهم مشترک برسند و ابهامات موجود در اثبات این موضوع، همچنان برای استیکس و شولز باقی ماند. این در حالی بود که موچیزوکی مدعی بود که دو همکارش، مسائل و معادلاتی را که در حقیقت متفاوت هستند را برابر می‌دانند و از همین رو، نتیجه‌گیری نادرستی دارند.

چالش بعدی در سال ۲۰۲۱ ایجاد شد؛ زمانی که اثبات موچیزوکی به شکل اصلاح شده در مجله انتشارات موسسه تحقیقاتی علوم ریاضی که خود موچیزوکی سردبیر آن است، مناقشه بیشتری را ایجاد کرد. البته این حرکت در نوع خود غیرعادی نیست و ریاضیدانان معمولا نتایج تحقیقات‌شان را در مجلاتی که در آن تحت عنوان ویراستار کار می‌کنند، منتشر می‌نمایند. اما نکته ماجرا اینجاست که این محققین به بررسی کار خود نمی‌پردازند. در هر حال شولز بر این نکته تاکید دارد که از نظر او شواهد هنوز ناقص هستند.

انگیزه میلیون دلاری

با وجود آخرین مقاله منتشر شده موچیزوکی، اکثر نظریه‌پردازان اعداد نمی‌توانند اثبات او را دنبال کنند و به رغم آنکه موچیزوکی شهرت بسیار بالایی دارد، اجماع در این زمینه حکایت از آن دارد که استدلال‌های او حدس abc را اثبات نمی‌کند؛ این بدان معناست که معمای a+b=c همچنان پابرجاست.

برای از بین بردن این ابهامات، کاواکامی، بنیانگذار DWANGO حالا ابتکار عمل را در دست گرفته؛ او با وجودی که شخصا یک ریاضیدان نیست، تئوری IUT را به چشم مشارکت مهمی در این ماجرا می‌بیند. در ژوئن سال ۲۰۲۳، کاواکامی اعلام کرد که قصد دارد تا در یک دهه پیش رو، سالانه ۲۰ هزار تا ۱۰۰ هزار دلار پاداش را به مقاله‌ای که پیشرفت‌های قابل توجهی در نظریه IUT موچیزوکی داشته باشد، اهدا کند. مقاله برتر، توسط گروهی از متخصصان در زمینه تئوری IUT انتخاب شده و قرار بر این است که اولین جایزه در این راستا در سال ۲۰۲۴ اهدا شود.

از سوی دیگر در صورتی که فردی نقصی جدی در این تئوری پیدا کند، پاداشی یک میلیون دلاری دریافت خواهد کرد. کاواکامی شخصا تصمیم خواهد گرفت که چه کسی این جایزه را دریافت خواهد کرد. او اخیرا در یک کنفرانس خبری توضیح داد که این جایزه را به منظور ایجاد انگیزه در افراد، برای انجام تحقیقات بیشتر در این راستا ارائه خواهد کرد. فومیهارو کاتو، یک ریاضیدان دراین باره اعلام کرده که طبق برآوردهای او کمتر از ۱۰ نفر در دنیا هستند که به خوبی به تئوری IUT تسلط دارند. در نتیجه باید دید که آیا تلاش‌های کاواکامی روزگاری به سرانجام خواهد رسید و تکلیف حدس abc روشن خواهد شد یا خیر.