بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (2)
قالیشویی بانو_هدر
رستوران پارسیان_D
قالیشویی بانو_هدر
رستوران پارسیان_D
دیاکو_موبایل F دومی
ایرانیان - F داخلی موبایل111
قالیشویی بانو_هدر
رستوران پارسیان_D
ایرانیان - f تبلت1111
تدریس خصوصی امیرکبیر_1
دکتر نداف کرمانی 1
فرش مرتضوی_1
فرش مرتضوی_3
تدریس خصوصی امیرکبیر_3
دکتر نداف کرمانی 3
دکتر نداف کرمانی 4
فرش مرتضوی_ 4
تدریس خصوصی امیرکبیر_4
فرش مرتضوی_2
دکتر نداف کرمانی 2
تدریس خصوصی امیرکبیر_2
دیاکو_F داخلی دومی
ایرانیان - F داخلی1111
۳۰۰۴۸۱
۰۶ اسفند ۱۳۹۴ - ۱۵:۲۱
۱۱۶۸۰
گاهی اوقات در ریاضیات با مسائل و معماهایی روبرو می‌شویم که در نگاه اول به نظر می‌رسد پاسخ آن‌ها با «عقل سلیم» در تضاد باشد.
zoomit.ir - مسعود توکلی: گاهی اوقات در ریاضیات با مسائل و معماهایی روبرو می‌شویم که در نگاه اول به نظر می‌رسد پاسخ آن‌ها با «عقل سلیم» در تضاد باشد. در قسمت قبل با چند مورد از این حقایق ریاضی که حتی افراد باهوش هم در درک آن دچار مشکل هستند، آشنا شدیم.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

 ۵. مسئله‌ی تاریخ تولد

فرض کنید در یک اداره کار می‌کنید که در مجموع ۲۳ کارمند دارد. احتمال اینکه دو نفر از کارمندان تاریخ تولد یکسانی داشته باشند چقدر است؟ (در این مسئله با فرض اینکه هیچ‌کس نمی‌تواند متولد ۳۰ اسفند باشد، از سال‌های کبیسه صرف نظر می‌کنیم.) در صورتی که تعداد کارمندان اداره ۵۷ نفر باشد، این احتمال چقدر خواهد بود؟

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

به احتمال زیاد از قبل می‌دانید هنگامی که جمعیت یک اداره به ۳۶۶ نفر برسد، بنا به اصل لانه‌ی کبوتر (و با توجه به فرض مسئله) به احتمال ۱۰۰ درصد حداقل دو نفر تاریخ تولد یکسانی خواهند داشت. این حقیقت ممکن است منجر به این باور غلط شود که احتمال وجود افراد با تاریخ‌های تولد یکسان در حالت اول کمتر از ۱۰ درصد و در حالت دوم حدود ۱۵ درصد است.

اما پاسخ صحیح مسئله در حالت اول (۲۳ کارمند) ۵۰ درصد، و در حالت دوم (۵۷ کارمند) ۹۹ درصد است!

شاید باور اینکه در یک اداره‌ی ۲۳ نفره به احتمال ۵۰ درصد دو نفر تاریخ تولد یکسانی داشته باشند کمی سخت باشد. از آن سخت‌تر باور کردن احتمال ۹۹ درصدی وجود تاریخ تولد یکسان در یک اداره‌ی ۵۷ نفره است. اما این احتمالات قابل اثبات هستند.

 از اداره‌ی ۲۳ نفری شروع کنیم:

برای اثبات پاسخ این مسئله، از احتمال معکوس یا converse probability (احتمال قرار نگرفتن تاریخ تولد دو نفر در یک روز یکسان) استفاده می‌کنیم؛ چرا که محاسبه‌ی احتمال به روش مستقیم در این مسئله کار بسیار مشکلی است. احتمال اینکه دو نفر تاریخ تولد یکسانی نداشته باشند، اینگونه محاسبه می‌شود.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

این احتمال برای ۳ نفر به این صورت به دست می‌آید:

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

همچنین برای ۴ نفر داریم:

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

با ادامه‌ی این روش تا ۲۳ نفر خواهیم داشت:

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

این یعنی از آنجایی که ۴۹.۳% احتمال دارد هیچ‌کس تاریخ تولد یکسانی با کس دیگری نداشته باشد، پس ۵۰.۷% احتمال وجود دارد که حداقل دو نفر در این اداره‌ی ۲۳ نفره تاریخ تولد یکسانی داشته باشند.

در حالت دوم مسئله هم با استفاده از همین روش به احتمال ۹۹ درصد می‌رسیم. جالب است بدانید در صورتیکه تعداد کارمندان به ۷۵ نفر برسد، احتمال یکسان بودن تاریخ تولد‌ها به ۹۹.۹ درصد می‌رسد.

نمودار احتمال این مسئله به شکل زیر است:

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

در اینجا می‌توانید علاوه بر آشنایی بیشتر با این مسئله و مطالعه‌ی اثبات‌های دقیق ریاضی، با استفاده از شبیه‌ساز سایت، خودتان احتمالات را با هر تعداد دلخواه کارمند به صورت شهودی بررسی کنید.

۶. پارادوکس جعبه‌ی برتراند

فرض کنید ۳ جعبه وجود دارد که هر کدام از آن‌ها دارای دو محفظه هستند. در یکی از جعبه‌ها دو شمش طلا، در دیگری دو شمش نقره و در جعبه‌ی سوم یک شمش طلا و یک شمش نقره قرار دارد.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

یک جعبه را به صورت تصادفی انتخاب کرده و یکی از محفظه‌های آن را (آن هم به صورت تصادفی) باز می‌کنید. اگر شمشی که به دست آورده باشید از جنس طلا باشد، احتمال اینکه شمش درون محفظه‌ی دیگر همان جعبه هم از جنس طلا باشد چقدر است؟

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

پاسخی که در ابتدا به ذهن اکثر افراد می‌رسد این است:

از آنجایی که تنها دو جعبه با شمش طلا وجود دارد، حتماً یکی از آن‌ها را انتخاب کرده‌ام. همچنین از آنجایی که یکی از این دو جعبه در محفظه دیگر خود شمش نقره، و دیگری شمش طلا دارد، پس حتماً پاسخ مسئله ۵۰ درصد است.

این پاسخ اشتباه است.

برای اینکه بهتر متوجه شویم چرا احتمال طلا بودن شمش دیگر ۵۰ درصد نیست، شمش‌ها را به این صورت نام‌گذاری می‌کنیم.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

حال بیایید همه‌ی حالات ممکن را با هم بررسی کنیم.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

سپس تنها حالاتی را که در آن‌ها انتخاب اول شما شمش طلا بوده است را در نظر می‌گیریم.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

همانطور که مشخص است، اگر در انتخاب اول با شمش طلا مواجه شوید، به احتمال دو سوم شمش محفظه‌ی دیگر نیز از جنس طلا است.

این معما رابطه‌ی تنگاتنگی با معمای مانتی هال دارد. اگر استدلال‌های معمای مانتی هال شما را قانع نکرده است، احتمالاً پاسخ این مسئله را هم به سادگی نخواهید پذیرفت.

در هر صورت اگر علاقه‌مند به مطالعه‌ی بیشتر درباره‌ی این مسئله هستید، می‌توانید به اینجا و اینجا مراجعه کنید.

۷. معمای هتل هیلبرت

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

هتلی را در نظر بگیرید که «بی‌نهایت» اتاق دارد و تمامی اتاق‌های آن پُر است. مسافر جدیدی از راه می‌رسد و مدیریت هتل به او می‌گوید که یک اتاق خالی برای او سراغ دارد. با توجه به پُر بودن تمامی اتاق‌ها، مدیر هتل چگونه قرار است برای مسافر اتاق خالی پیدا کند؟

پاسخ معما به این صورت است:

از آنجایی که تمام اتاق‌های هتل پر از مسافر است، مدیر هتل از مسافر اتاق ۱ می‌خواهد تا به اتاق شماره ۲ نقل مکان کند. همچنین از مسافر اتاق ۲ نیز درخواست می‌کند تا به اتاق شماره ۳ تغییر مکان بدهد.

همینطور مسافر اتاق ۳ به ۴، ۴ به ۵، ۵ به ۶ و ... . در واقع مدیر هتل از مسافر اتاق n تقاضا می‌کند تا به اتاق n + 1 برود. از آن‌جایی که هتل بی‌نهایت اتاق دارد، همواره اتاقی برای انتقال مسافران وجود خواهد داشت. با این کار اتاق ۱ خالی می‌شود و مسافر جدید می‌تواند در آن اسکان بیابد.

اگر شب بعد یک اتوبوس ۶۰ نفری برای هتل میهمان بیاید چطور؟ این بار آقای مدیر چه ترفندی برای اسکان مسافران جدید در هتلِ کاملاً پرِ خود به کار خواهد گرفت؟

این دفعه مدیریت هتل از مسافر اتاق ۱ می‌خواهد تا به اتاق ۶۱ برود. همینطور مسافر اتاق ۲ به اتاق ۶۲، ۳ به ۶۳، ۴ به ۶۴ و ... . به این ترتیب ۶۰ اتاق اول هتل خالی خواهند شد. احتمالاً قاعده‌ی جای دادن n تعداد (متناهی) مسافر در این هتل را حدس زده باشید؛ برای اسکان m مسافر جدید، مسافر اتاق n را به اتاق n+m انتقال می‌دهیم.

اما اگر شب بعد اتوبوسی با «بی‌نهایت» مسافر جدید از راه برسد، چطور می‌توان آن‌ها را در هتلی که حتی یک اتاق خالی هم ندارد جای داد؟

شیوه‌ی حل مسئله این بار به این صورت است که از مسافر اتاق ۱ درخواست می‌کنیم به اتاق۲ برود، مسافر اتاق ۲ به اتاق ۴، ۳ به ۶، ۴ به ۸ و ... . یعنی مسافران اتاق‌های n به اتاق‌های 2n نقل مکان کنند. با این کار اتاق‌های 2n-1 (فرد) که تعدادشان بی‌نهایت است، آماده‌ی پذیرایی از بی‌نهایت مسافر جدید خواهند بود.

درک این مسئله و راه حل آن نیز رابطه‌ی تنگاتنگی با درک مسئله‌ی ۲ در قسمت قبل این مجموعه دارد. دانستن مفاهیم «تناظر یک به یک» و «مجموعه‌های نامتناهیِ قابل شمارش» به شما در فهم راه حل این مسئله کمک خواهد کرد.

در حقیقت حتی اگر بی‌نهایت اتوبوس که هر کدام بی‌نهایت مسافر دارند هم از راه برسند، می‌توان آن‌ها را در هتل جای داد. اثبات این حالت کمی پیچیده‌تر از حالات قبلی است و اگر علاقه دارید می‌توانید در اینجا و اینجا درباره‌ی آن بیشتر بخوانید.

۸. چگونه می‌توان با استفاده از تخته‌ی دارت، مقدار π (عدد پی) را تخمین زد؟

یکی از جالب‌ترین راه‌ها برای تخمین مقدار π، انتخاب تصادفی نقاط در شکل زیر است.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

چنین شکلی را خودتان هم می‌توانید با هر ابعاد دلخواهی درست کنید. فرض کنیم شعاع دایره برابر r باشد. در نتیجه قطر مربعی که آن را محاط کرده است برابر 2r است. با این حساب مساحت دایره πr2 و مساحت مربع 4r2 خواهد بود.

 نسبت مساحت دایره به مربع نیز برابر π چهارم می‌شود. حالا به هر روشی که دوست دارید، به صورت تصادفی نقاطی را بر روی صفحه‌ی فوق انتخاب کنید.

 دقت داشته باشید که هیچ عاملی به جز شانس در انتخاب نقاط دخیل نباشد. هر چقدر که تعداد این نقاط تصادفی بیشتر باشد، نسبت نقاطی که درون دایره قرار گرفته‌اند به نقاط خارج از دایره (و درون مربع) به عدد π چهارم نزدیک‌تر خواهد شد. مقدار تقریبی π با استفاده از این روش، اینگونه حساب می‌شود.

۱۲ مورد از بحث برانگیزترین معماهای ریاضی (قسمت دوم)

البته باید توجه داشت که صورت مسئله ممکن است کمی گمراه کننده باشد، چرا که در شرایط پرتاپ دارت به سوی بورد، ممکن است عوامل دیگری نیز دخیل باشند که توزیع تصادفی نقطه‌ها بر روی شکل را تحت تاثیر قرار بدهند؛ اما باید در نظر داشت که عنوان معماها صرفاً برای ساده سازی، رساندن مفهوم کلی و جذاب‌تر کردن مسئله طراحی می‌شوند. صورت مسئله تعریف دقیق‌تری را ارائه می‌دهد.

به طور کلی، این نوع محاسبات آماری که با نمونه‌گیری تصادفی همراه است، به روش مونته کارلو (Monte Carlo method) مشهور است. درباره‌ی محاسبه‌ی مقدار π به صورت آماری می‌توانید در اینجا به مطالعه بپردازید.
انتشار یافته: 1
در انتظار بررسی:0
Iran, Islamic Republic of
20:01 - 1395/02/04
توی مسئله ی هشت یه اشتباه دارید.
نوشتید شعاع دایره r هست پس قطر مربع 2r هست. احتمالا منظورتون از قطر مربع ضلغ بوده چون توی جمله ی بعد مساهت رو حساب کردید.
نام:
* نظر:
تعداد کاراکترهای مجاز: 450
قوانین ارسال نظر
بانک اطلاعات مشاغل تهران و کرج
شیرآلات زمانی_1
فرش ریحان 1
اپیلاسیون نانا 1
فرش تارنگ_1
فرش ریحان 3
فرش تارنگ_3
اپیلاسیون نانا 3
شیرآلات زمانی_3
فرش تارنگ_4
اپیلاسیون نانا 4
فرش ریحان 4
شیرآلات زمانی_4
فرش تارنگ_2
اپیلاسیون نانا 2
فرش ریحان 2
شیرآلات زمانی_2
فنی آتل_فوتر موبایل
دیاکو_فوتر موبایل داخلی
قالیشویی ادیب_فوتر موبایل
رستوران پارسیان_فوتر موبایل
قالیشویی نوین_فوتر موبایل
قالیشویی محتشم کاشان_فوتر موبایل
دکتر عارفی - موبایل فوتر
موسسه خیریه زهرا_فوتر موبایل
سفیر بار ساقدوش_فوتر موبایل
قالیشویی بانو_فوترموبایل2
کالابرد_فوترموبایل
فرش تارنگ_فوتر موبایل
دکتر قدیمی_فوتر موبایل
تدبیرکالا_فوتر موبایل
بانک کتاب پایتخت_فوتر موبایل
استیل رگال_فوتر موبایل
رستوران باغ بهشت_فوتر موبایل
شفا_فوترموبایل
کالابرد_فوتر
قالیشویی ادیب_فوتر
بانک کتاب پایتخت_فوتر
دکتر قدیمی_فوتر
استیل رگال_فوتر
شفا_فوتر
قالیشویی نوین_فوتر
فرش تارنگ_فوتر
سفیر بار ساقدوش_فوتر
تدبیرکالا_فوتر
رستوران باغ بهشت _فوتر
دکتر عارفی - فوتر
موسسه خیریه زهرا_فوتر
قالیشویی محتشم کاشان_فوتر
فنی آتل_فوتر
قالیشویی بانو_فوتر2
رستوران پارسیان_فوتر
دیاکو_فوتر داخلی